任選兩個自然數，它們互質的概率是多少？它就是s = 2時歐拉乘積公式右邊的連乘的倒數，因此它等于s = 2時歐拉乘積公式左邊的連加的倒數，即1/ζ(2)。而ζ(2) = π^2/6，因此這個概率等于6/π^2 ≈ 60.79%。同樣的，三個自然數互質的概率是1/ζ(3) ≈ 83.19%，四個自然數互質的概率是1/ζ(4) ≈ 92.39%。

在上一期節目（文章見理解黎曼猜想（一）背景 | 袁嵐峰，視頻見
https://www.bilibili.com/video/av34580488）中，我們首先介紹了黎曼猜想的背景，即質數分布問題。然后指出了研究質數分布的基本工具，即歐拉乘積公式：

這個公式左邊的n指的是所有的自然數，1、2、3、4、5等等，右邊的p指的是所有的質數，2、3、5、7、11等等。公式兩端都出現的s是一個變量，當s > 1時歐拉乘積公式成立。

數學家經常用大寫的希臘字母Σ來表示求和，用大寫的希臘字母Π來表示連乘。用這種表達方式，我們可以把歐拉乘積公式簡寫成下面這樣：

然后，我們給出了歐拉乘積公式的證明。如果把n-s記作f(n)，左邊就是無窮級數Σn?f(n)。對這個無窮級數乘以[1 – f(2)]，就會消掉所有的f(2n)項。再乘以[1 – f(3)]，就會消掉剩下的項中所有的f(3n)項。再乘以[1 – f(5)]，就會消掉剩下的項中所有的f(5n)項。把這樣的操作重復無限多次，就會消掉所有的質數的倍數對應的項，也就是消掉所有的大于1的自然數對應的項，最后只剩下f(1)這一項，它等于1。把所有乘上去的[1 – f(2)] [1 – f(3)] [1 – f(5)]…等等移到右邊去，就是歐拉乘積公式的右邊Πp?[1 – f(p)]-1。這樣，我們就證明了歐拉乘積公式。

這其實就是當初歐拉的證明方法。它確實是一個非常巧妙的證明，堪稱人類智慧的偉大結晶，令人贊嘆不已。

歐拉

在上期節目的視頻中，我注意到一件有趣的事。當我開始講這個證明過程的時候，彈幕中充滿了“告辭”、“勸退”、“陣亡”、“我是誰，我在哪，我在干什么”之類自暴自棄的話。但隨著講解過程的深入，越來越多的彈幕變成了“懂了”、“妙啊”、“存活”、“說得很清楚啊”。最后當證出來的時候，更是充滿了一大片的“原來如此”、“太精彩了”、“恍然大悟”、“開心”等等。

真香

隔著屏幕都能感覺到同學們的“開心”，令我很欣慰。吶，做人呢，最重要就是開心！

做人最重要就是開心

理解數學有一種獨特的開心，是其他任何東西都不能代替的。就像我以前講藍眼睛島問題的十個層次從藍眼睛問題，看群眾理解能力的巨大差異 | 袁嵐峰，完全理解了的同學就會非常高興，因為他們從中學到的不止是這個問題本身的答案，還包括如何研究問題、如何獲得深入理解的思維方法。

在上期節目的開頭，我就講了兩個心理建設：一是打破跳蚤效應，勇敢地去面對數學；二是拿起紙筆，把瓜放下。任何同學如果真正按照這兩點去做，我相信你就一定能領略到數學的樂趣！

回到歐拉乘積公式，左邊的無窮級數Σn?n-s是一個以s為自變量的函數，可以記作ζ(s)（ζ是一個希臘字母，發音zeta）。現在我們把它稱為歐拉ζ函數，以后我們會看到它如何變成了黎曼ζ函數。通過研究ζ函數，我們就有可能對質數獲得深刻的了解。什么樣的了解呢？下面就來舉一個例子。

請問：任選兩個自然數，它們互質（coprime）的概率是多少？

首先來解釋一下，兩個自然數互質的意思，就是它們沒有共同的質因數，換句話說就是，它們的最大公約數是1。例如2和3互質，2和15互質，但15和21不互質，因為15和21都以3作為質因數。很快可以看出，任意兩個不同的質數是互質的，一個質數和一個不以它作為質因數的合數是互質的，1和任意自然數都是互質的。

了解了互質的定義之后，我們如何計算兩個自然數互質的概率呢？

可以這樣思考。首先，考慮兩個自然數有公約數2的概率。這等價于它們都可以表示成2n，而所有可以表示成2n的自然數在所有的自然數當中占據的比例是1/2。因此，任選一個自然數，它可以表示成2n的概率是1/2。而任選兩個自然數，它們都可以表示成2n的概率就是1/2的平方，這就是它們有公約數2的概率。那么作為跟這種情況互補的情況，兩個自然數沒有公約數2的概率，就是1-1/22。

然后，根據同樣的推理，兩個自然數沒有公約數3的概率，就是1-1/32。繼續下去，兩個自然數沒有公約數5的概率，就是1-1/52，如此等等。

最后，兩個自然數互質，就等價于它們的公約數既沒有2，也沒有3，也沒有5等等，沒有任何一個質數。因此，兩個自然數互質的概率等于上面各個概率乘起來，

這個表達式等于什么？仔細看一下，你就會發現，它就是s = 2的時候歐拉乘積公式右邊那個連乘的倒數！因此，它等于s = 2時歐拉乘積公式左邊那個連加的倒數，也就是1/ζ(2)。

真是妙啊！現在問題變成了，ζ(2)等于多少？根據定義，

也就是所有自然數的平方倒數的和。請問，它等于多少？

回答是π2/6，約等于1.6449。咦，在這里為什么會出現圓周率？這當然是有原因的啦。事實上這個等式又是歐拉證明的，這是歐拉的成名作之一。這個證明十分有趣，不過要用到微積分，許多同學們還沒有學過，而且這個證明不是我們當前必需的，所以在這里我們就不講了，有興趣的同學請自己查閱文獻。

歐拉

對于當前的目的，把ζ(2) = π2/6代進去，我們就知道了：兩個自然數互質的概率等于6/π2！數值計算一下，它約等于60.79%。

這個結論對不對呢？我們還可以用計算機來驗證一下。

我的朋友、風云學會會員陳經是計算機專家，他幫我寫了一個程序，在1到32768（即2的15次方）之間隨機取兩個自然數，看它們是否互質。在測試1千萬次后，發現兩個自然數互質的次數總共有6080726次。因此在這個測試中，兩個自然數互質的頻率是60.80726%。請看，它跟理論值60.79%是多么接近！

事實上，如果你學過數值分析，你就會知道這是一個相當粗糙的數值實驗。在你考慮全體自然數的性質的時候，32768這個取值上限實在是太小了，小得有點令人發笑。以后我們會講到一個例子，算到1千億億都不足以保證結果成立。我們重復一下，1千億億！這是一個令人驚掉下巴的例子。但在這里，令人吃驚的卻是，對32768這么小的樣本取樣，就足以得到十分接近理論值的結果。這說明，兩個自然數互質的概率這個問題，隨著取樣范圍的增大，收斂得是非常快的。

你看，我們是不是通過研究ζ函數，對質數的分布獲得了驚人的結果？

根據同樣的推理，我們很快會發現，任選s個自然數，它們互質的概率就是1/ζ(s)。在這里需要說明一下，三個或更多個自然數互質的意思，是所有這些數的整體的公約數只有1，而不是其中任何兩個自然數的公約數也只有1。例如考慮2、3、4這三個自然數，其中的兩個數2和4不互質，但這三個數的整體是互質的，這種情況我們把它算作三個數互質。

根據這個定義，你很容易看出，s越大，s個自然數互質的概率就越大。因為隨著s的增大，某個質數剛好是s個自然數的共同質因子的可能性，就越來越低了。

從ζ函數的角度來考察，也確實應該如此。當s > 1的時候，n-s是一個減函數，所以ζ(s) = Σn?n-s也是一個減函數。隨著s的增加，ζ(s)在減小，所以ζ(s)的倒數在增大，也就是說s個自然數互質的概率在增大。

好，現在讓我們把視線投向任意正整數s對應的ζ(s)。

在這里可以告訴大家，對于正的偶數s，ζ(s)是可以快速求出的，而且其中總是包含圓周率π的s次方。例如ζ(4)，也就是所有自然數的四次方的倒數之和，它等于π4/90，約等于1.0823。由此可以算出，四個自然數互質的概率等于90/π4，約等于92.39%。

然而對于正的奇數s，ζ(s)的計算就會變得非常麻煩，很難有個簡單的表達式。例如對于ζ(3)，也就是所有自然數的三次方的倒數之和，我們就只能說它約等于1.2021。你要是想把它精確地表示出來，就只有一些比較復雜的積分或者無窮級數或者連分數的表達形式。

無論如何，根據ζ(3) ≈ 1.2021，我們可以算出三個自然數互質的概率約等于83.19%。從兩個自然數互質的概率60.79%，到三個自然數互質的概率83.19%，到四個自然數互質的概率92.39%，我們看到它們確實是在上升的，符合預期。

隨著s趨于無窮大，ζ(s) = Σn?n-s當中只有第一項1不受影響，后面的項都迅速地趨近于0，所以ζ(s)會趨近于1。相應的，s個自然數互質的概率也確實會趨近于100%，這都是很容易理解的。

你也許會問：s只能取整數值嗎？當然不是，它完全可以取3/2（也就是1.5）或者1.6或者π等非整數的值。對于非整數的s，ζ(s)仍然是有明確定義的，只不過這時不能跟所謂“s個自然數互質的概率”聯系起來了。你可以計算ζ(3/2)，它約等于2.6124，但你無法談論所謂“1.5個自然數”。

如果你對分數指數感到迷惑，請翻一下高中數學課本就知道了。這里可以提示一下，一個數的3/2次方，等于它的三次方的平方根。而一個數的π次方，就等于它的3次方、3.1次方、3.14次方、3.141次方、3.1415次方、3.14159次方等等這個數列的極限。

現在，我們對ζ函數增加了許多了解，明白了它跟質數有深刻的聯系，并且知道了它在若干個點上的取值。現在，你是不是對這個函數感到很親切，而不會感到恐懼了？

不過我們必須強調一下，到目前為止，所有的s都是大于1的。你也許會問，ζ(1)等于多少？也就是說，所有自然數的倒數和等于多少？在數學上，我們又把它稱為調和級數（harmonic series）。

現在，一個關鍵點來了：ζ(1)等于無窮大！也就是說，調和級數是發散的！

為什么會這樣？讓我們把ζ(1)的表達式寫出來，就能夠做下面的推理：

最后那個式子中，隨著項數的增加，會出現無窮多個1/2。無窮多個1/2加起來當然會大于任意的有限值，因此最后的式子是發散的。而ζ(1)比它還要大，所以當然也是發散的。

如果你覺得上面的表達方式不太嚴格，那么我們真正想表達的意思是：對于任意大的自然數k，都有下面的不等式。

實際上，調和級數雖然是發散的，但它發散得非常慢。把前面的10的43次方項加起來，都沒有超過100。10的43次方是多少？一億是10的8次方，所以10的43次方就是1千億億億億億。用物理世界舉個例子，整個宇宙的半徑大約是137億光年，量級是10的26次方米，一個原子核的半徑是10的-15次方米的量級，宇宙半徑除以原子核半徑也不過是10的41次方而已，還要再乘以100才能達到10的43次方。想想看，1千億億億億億個數加起來，都沒超過100！這是怎樣的一種增長速度啊！

為什么會這樣呢？原因又是歐拉告訴我們的。歐拉證明了，調和級數的增長速度，大致就是自然對數的增長速度。如果你沒學過自然對數，那么可以簡單解釋一下：常用對數（經常寫成lg）是以10為底的對數，而自然對數（經常寫成ln）是以e為底的對數，這里的e是一個常數，約等于2.71828。為什么要以這樣一個數為底？因為在數學上，lnx具有許多很好的性質，處理起來比lgx方便得多。其實在數學中，自然對數才是“常用”的，比所謂“常用對數”常用得多。

歐拉

更具體地說，歐拉證明了，調和級數的前n項之和約等于lnn，而隨著n的增大，它們的差值會趨近于一個常數γ：

這個常數叫什么名字呢？當然，又叫做歐拉常數（Euler’s constant）……咦，我為什么要說“又”呢？

歐拉

我們可以用兩個面積的差來形象地表現歐拉常數。一個面積是一系列的矩形之和，它們的寬度都是1，而高度從1到1/2，到1/3，到1/4，如此等等，一路下降。另一個面積是y = 1/x即倒數函數曲線下面的面積，即圖中的深紅色部分，數學家會告訴你，它就等于lnx。這兩個面積的差，就是圖中的藍色部分。

用面積表示歐拉常數

你會看到，在每一個矩形中，矩形的面積都大于倒數函數曲線下方的面積，但相差得越來越小。當x趨于無窮的時候，藍色部分的面積就趨于一個有限值，它等于歐拉常數。

了解了調和級數即ζ(1)的發散性質以后，讓我們回到歐拉乘積公式。在上一期中我們說過，歐拉乘積公式只在s > 1的時候成立。有同學問我，歐拉乘積公式的推導過程好像跟s完全沒有關系，那么它是不是對于任意的s都成立呢？回答是：不行，只有對大于1的s才成立。

這是因為我們的推導過程有一個前提，就是ζ(s)是一個有限值，或者說ζ(s)是收斂的。只有在這個前提下，才能把它當成一個正常的數進行種種操作，例如乘以1 – f(2)，消去所有包含2n的項。但假如ζ(s)是發散的，那么這樣的操作就毫無意義，有可能導致各種各樣的錯誤。例如你經常聽說的所謂“全體自然數的和等于-1/12”，就是這樣的一個錯誤！

在歐拉那個時代，許多數學知識的基礎定義還不夠嚴格，數學家還經常搞一些有越界之嫌的操作，歐拉就搞了不少。而現代的數學家是非常注重嚴格性的，他們給你看的證明，一定都是保證了可靠性，每一步都有精確定義的。我雖然不是數學家，但我給你看的證明，也一定是保證了可靠性的。

既然ζ(1)是發散的，那么你很容易發現，當s 1的范圍內進行。從中我們確實能得到一些有趣的結論，例如s個自然數互質的概率等于1/ζ(s)，但這些畢竟還是對質數分布的間接了解，直接的了解還很欠缺。

如何才能對質數的分布獲得更加深入的了解呢？

我們的大事件來了：你的好友黎曼已上線！歐拉ζ函數升級為黎曼ζ函數！

黎曼

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